Gleitend Durchschnittlich Glättung In R

Verschieben von durchschnittlichen und exponentiellen Glättungsmodellen Als erster Schritt, um über mittlere Modelle hinauszugehen, können zufällige Wandermodelle und lineare Trendmodelle, Nichtseasonalmuster und Trends mit einem gleitenden Durchschnitt oder Glättungsmodell extrapoliert werden. Die Grundannahme hinter Mittelwertbildung und Glättung von Modellen ist, dass die Zeitreihe lokal stationär mit einem langsam variierenden Mittel ist. Daher nehmen wir einen bewegten (lokalen) Durchschnitt, um den aktuellen Wert des Mittelwerts abzuschätzen und dann das als die Prognose für die nahe Zukunft zu verwenden. Dies kann als Kompromiss zwischen dem mittleren Modell und dem random-walk-without-drift-Modell betrachtet werden. Die gleiche Strategie kann verwendet werden, um einen lokalen Trend abzuschätzen und zu extrapolieren. Ein gleitender Durchschnitt wird oft als quotsmoothedquot Version der ursprünglichen Serie, weil kurzfristige Mittelung hat die Wirkung der Glättung der Beulen in der ursprünglichen Serie. Durch die Anpassung des Grades der Glättung (die Breite des gleitenden Durchschnitts), können wir hoffen, eine Art von optimalem Gleichgewicht zwischen der Leistung der mittleren und zufälligen Wandermodelle zu schlagen. Die einfachste Art von Mittelungsmodell ist die. Einfache (gleichgewichtete) Moving Average: Die Prognose für den Wert von Y zum Zeitpunkt t1, der zum Zeitpunkt t gemacht wird, entspricht dem einfachen Durchschnitt der letzten m Beobachtungen: (Hier und anderswo verwende ich das Symbol 8220Y-hat8221 zu stehen Für eine Prognose der Zeitreihe Y, die zum frühestmöglichen früheren Datum durch ein gegebenes Modell gemacht wurde.) Dieser Durchschnitt ist in der Periode t (m1) 2 zentriert, was impliziert, dass die Schätzung des lokalen Mittels dazu neigen wird, hinter dem wahren zu liegen Wert des lokalen Mittels um etwa (m1) 2 Perioden. So sagen wir, dass das Durchschnittsalter der Daten im einfachen gleitenden Durchschnitt (m1) 2 relativ zu dem Zeitraum ist, für den die Prognose berechnet wird: Dies ist die Zeitspanne, mit der die Prognosen dazu neigen, hinter den Wendepunkten in den Daten zu liegen . Zum Beispiel, wenn Sie durchschnittlich die letzten 5 Werte sind, werden die Prognosen etwa 3 Perioden spät in Reaktion auf Wendepunkte. Beachten Sie, dass, wenn m1, das einfache gleitende Durchschnitt (SMA) - Modell entspricht dem zufälligen Walk-Modell (ohne Wachstum). Wenn m sehr groß ist (vergleichbar mit der Länge der Schätzperiode), entspricht das SMA-Modell dem mittleren Modell. Wie bei jedem Parameter eines Prognosemodells ist es üblich, den Wert von k anzupassen, um die besten Quoten für die Daten zu erhalten, d. h. die kleinsten Prognosefehler im Durchschnitt. Hier ist ein Beispiel für eine Reihe, die zufällige Schwankungen um ein langsam variierendes Mittel zeigt. Zuerst können wir versuchen, es mit einem zufälligen Spaziergang Modell, das entspricht einem einfachen gleitenden Durchschnitt von 1 Begriff: Das zufällige Spaziergang Modell reagiert sehr schnell auf Änderungen in der Serie, aber in diesem Fall nimmt es viel von der Quotierung in der Daten (die zufälligen Schwankungen) sowie das quotsignalquot (das lokale Mittel). Wenn wir stattdessen einen einfachen gleitenden Durchschnitt von 5 Begriffen ausprobieren, erhalten wir einen glatteren Prognosen: Der 5-fach einfache gleitende Durchschnitt liefert in diesem Fall deutlich kleinere Fehler als das zufällige Spaziergangmodell. Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 3 ((51) 2), so dass es dazu neigt, hinter den Wendepunkten um etwa drei Perioden zurückzukehren. (Zum Beispiel scheint ein Abschwung in der Periode 21 aufgetreten zu sein, aber die Prognosen drehen sich nicht um einige Perioden später.) Beachten Sie, dass die Langzeitprognosen des SMA-Modells eine horizontale Gerade sind, genau wie im zufälligen Spaziergang Modell. So geht das SMA-Modell davon aus, dass es keinen Trend in den Daten gibt. Während die Prognosen aus dem zufälligen Wandermodell einfach dem letzten beobachteten Wert entsprechen, sind die Prognosen des SMA-Modells gleich einem gewichteten Durchschnitt der letzten Werte. Die von Statgraphics für die Langzeitprognosen des einfachen gleitenden Durchschnittes berechneten Vertrauensgrenzen werden nicht weiter erhöht, wenn der Prognosehorizont zunimmt. Das ist offensichtlich nicht richtig Leider gibt es keine zugrundeliegende statistische Theorie, die uns sagt, wie sich die Konfidenzintervalle für dieses Modell erweitern sollten. Allerdings ist es nicht zu schwer, empirische Schätzungen der Vertrauensgrenzen für die längerfristigen Prognosen zu berechnen. Zum Beispiel könnten Sie eine Kalkulationstabelle einrichten, in der das SMA-Modell zur Vorhersage von 2 Schritten voraus, 3 Schritten voraus, etc. im historischen Datenmuster verwendet werden würde. Sie können dann die Stichproben-Standardabweichungen der Fehler bei jedem Prognosehorizont berechnen und dann Konfidenzintervalle für längerfristige Prognosen durch Addition und Subtraktion von Vielfachen der entsprechenden Standardabweichung aufbauen. Wenn wir einen 9-fach einfachen gleitenden Durchschnitt versuchen, bekommen wir noch glattere Prognosen und mehr von einem nacheilenden Effekt: Das Durchschnittsalter beträgt nun 5 Perioden ((91) 2). Wenn wir einen 19-fachen gleitenden Durchschnitt nehmen, steigt das Durchschnittsalter auf 10: Beachten Sie, dass die Prognosen in der Tat hinter den Wendepunkten um etwa 10 Perioden zurückbleiben. Welche Menge an Glättung ist am besten für diese Serie Hier ist eine Tabelle, die ihre Fehlerstatistik vergleicht, auch einen 3-Term-Durchschnitt: Modell C, der 5-fache gleitende Durchschnitt, ergibt den niedrigsten Wert von RMSE um einen kleinen Marge über die 3 - term und 9-term Mittelwerte, und ihre anderen Statistiken sind fast identisch. So können wir bei Modellen mit sehr ähnlichen Fehlerstatistiken wählen, ob wir ein wenig mehr Reaktionsfähigkeit oder ein wenig mehr Glätte in den Prognosen bevorzugen würden. (Zurück zum Anfang der Seite) Browns Einfache Exponential-Glättung (exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt) Das oben beschriebene einfache gleitende Durchschnittsmodell hat die unerwünschte Eigenschaft, dass es die letzten k-Beobachtungen gleichermaßen behandelt und alle vorherigen Beobachtungen völlig ignoriert. Intuitiv sollten vergangene Daten in einer allmählicheren Weise abgezinst werden - zum Beispiel sollte die jüngste Beobachtung ein wenig mehr Gewicht als die 2. jüngste, und die 2. jüngsten sollte ein wenig mehr Gewicht als die 3. jüngsten bekommen, und bald. Das einfache exponentielle Glättungsmodell (SES) erreicht dies. Sei 945 eine quotsmoothing constantquot (eine Zahl zwischen 0 und 1). Eine Möglichkeit, das Modell zu schreiben, besteht darin, eine Reihe L zu definieren, die den gegenwärtigen Pegel (d. h. den lokalen Mittelwert) der Reihe repräsentiert, wie er von den Daten bis zur Gegenwart geschätzt wird. Der Wert von L zum Zeitpunkt t wird rekursiv aus seinem eigenen vorherigen Wert wie folgt berechnet: Somit ist der aktuelle geglättete Wert eine Interpolation zwischen dem vorherigen geglätteten Wert und der aktuellen Beobachtung, wobei 945 die Nähe des interpolierten Wertes auf den letzten Wert steuert Überwachung. Die Prognose für die nächste Periode ist einfach der aktuell geglättete Wert: Gleichermaßen können wir die nächste Prognose direkt in Bezug auf vorherige Prognosen und frühere Beobachtungen in einer der folgenden gleichwertigen Versionen ausdrücken. In der ersten Version ist die Prognose eine Interpolation zwischen vorheriger Prognose und vorheriger Beobachtung: In der zweiten Version wird die nächste Prognose erhalten, indem man die vorherige Prognose in Richtung des vorherigen Fehlers um einen Bruchteil 945 anpasst Zeit t. In der dritten Version ist die Prognose ein exponentiell gewichteter (dh diskontierter) gleitender Durchschnitt mit Rabattfaktor 1-945: Die Interpolationsversion der Prognoseformel ist am einfachsten zu bedienen, wenn man das Modell auf einer Tabellenkalkulation implementiert: Es passt in eine Einzelzelle und enthält Zellreferenzen, die auf die vorherige Prognose, die vorherige Beobachtung und die Zelle hinweisen, in der der Wert von 945 gespeichert ist. Beachten Sie, dass bei 945 1 das SES-Modell einem zufälligen Walk-Modell entspricht (ohne Wachstum). Wenn 945 0 ist, entspricht das SES-Modell dem mittleren Modell, vorausgesetzt, dass der erste geglättete Wert gleich dem Mittelwert ist. (Zurück zum Anfang der Seite) Das Durchschnittsalter der Daten in der einfach-exponentiellen Glättungsprognose beträgt 1 945 gegenüber dem Zeitraum, für den die Prognose berechnet wird. (Das soll nicht offensichtlich sein, aber es kann leicht durch die Auswertung einer unendlichen Reihe gezeigt werden.) Die einfache gleitende Durchschnittsprognose neigt daher dazu, hinter den Wendepunkten um etwa 1 945 Perioden zurückzukehren. Zum Beispiel, wenn 945 0,5 die Verzögerung 2 Perioden beträgt, wenn 945 0,2 die Verzögerung 5 Perioden beträgt, wenn 945 0,1 die Verzögerung 10 Perioden und so weiter ist. Für ein gegebenes Durchschnittsalter (d. H. Verzögerung) ist die Prognose der einfachen exponentiellen Glättung (SES) der einfachen gleitenden Durchschnitts - (SMA) - Prognose etwas überlegen, da sie die jüngste Beobachtung - Es ist etwas mehr auffallend auf Veränderungen, die in der jüngsten Vergangenheit auftreten. Zum Beispiel hat ein SMA-Modell mit 9 Begriffen und einem SES-Modell mit 945 0,2 beide ein Durchschnittsalter von 5 für die Daten in ihren Prognosen, aber das SES-Modell setzt mehr Gewicht auf die letzten 3 Werte als das SMA-Modell und am Gleichzeitig ist es genau 8220forget8221 über Werte mehr als 9 Perioden alt, wie in dieser Tabelle gezeigt: Ein weiterer wichtiger Vorteil des SES-Modells gegenüber dem SMA-Modell ist, dass das SES-Modell einen Glättungsparameter verwendet, der stufenlos variabel ist, so dass er leicht optimiert werden kann Indem ein Quotsolverquot-Algorithmus verwendet wird, um den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren. Der optimale Wert von 945 im SES-Modell für diese Baureihe ergibt sich auf 0,2961, wie hier gezeigt: Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 10.2961 3.4 Perioden, was ähnlich ist wie bei einem 6-fach einfach gleitenden Durchschnitt. Die Langzeitprognosen des SES-Modells sind eine horizontale Gerade. Wie im SMA-Modell und dem zufälligen Walk-Modell ohne Wachstum. Allerdings ist zu beachten, dass die von Statgraphics berechneten Konfidenzintervalle nun in einer vernünftig aussehenden Weise abweichen und dass sie wesentlich schmaler sind als die Konfidenzintervalle für das zufällige Spaziergangmodell. Das SES-Modell geht davon aus, dass die Serie etwas vorhersehbar ist als das zufällige Spaziergangmodell. Ein SES-Modell ist eigentlich ein Spezialfall eines ARIMA-Modells. So bietet die statistische Theorie der ARIMA-Modelle eine fundierte Grundlage für die Berechnung von Konfidenzintervallen für das SES-Modell. Insbesondere ist ein SES-Modell ein ARIMA-Modell mit einer nicht-seasonalen Differenz, einem MA (1) Term und keinem konstanten Term. Ansonsten bekannt als ein quotARIMA (0,1,1) Modell ohne constantquot. Der MA (1) - Koeffizient im ARIMA-Modell entspricht der Menge 1-945 im SES-Modell. Zum Beispiel, wenn man ein ARIMA (0,1,1) Modell ohne Konstante an die hier analysierte Serie passt, ergibt sich der geschätzte MA (1) Koeffizient 0,7029, was fast genau ein minus 0.2961 ist. Es ist möglich, die Annahme eines nicht-null konstanten linearen Trends zu einem SES-Modell hinzuzufügen. Um dies zu tun, geben Sie einfach ein ARIMA-Modell mit einer nicht-seasonalen Differenz und einem MA (1) Begriff mit einer Konstante, d. h. ein ARIMA (0,1,1) Modell mit konstant. Die langfristigen Prognosen werden dann einen Trend haben, der dem durchschnittlichen Trend entspricht, der über den gesamten Schätzungszeitraum beobachtet wird. Sie können dies nicht in Verbindung mit saisonaler Anpassung tun, da die saisonalen Anpassungsoptionen deaktiviert sind, wenn der Modelltyp auf ARIMA eingestellt ist. Allerdings können Sie einen konstanten langfristigen exponentiellen Trend zu einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell (mit oder ohne saisonale Anpassung) hinzufügen, indem Sie die Inflationsanpassungsoption im Vorhersageverfahren verwenden. Die jeweilige Quotenquote (prozentuale Wachstumsrate) pro Periode kann als Steigungskoeffizient in einem linearen Trendmodell geschätzt werden, das an die Daten in Verbindung mit einer natürlichen Logarithmus-Transformation angepasst ist, oder sie kann auf anderen, unabhängigen Informationen über langfristige Wachstumsaussichten basieren . (Zurück zum Seitenanfang) Browns Linear (dh Double) Exponentielle Glättung Die SMA Modelle und SES Modelle gehen davon aus, dass es in den Daten keinen Trend gibt (was in der Regel ok oder zumindest nicht so schlecht ist für 1- Schritt-voraus Prognosen, wenn die Daten relativ laut sind), und sie können modifiziert werden, um einen konstanten linearen Trend wie oben gezeigt zu integrieren. Was ist mit kurzfristigen Trends Wenn eine Serie eine unterschiedliche Wachstumsrate oder ein zyklisches Muster zeigt, das sich deutlich gegen den Lärm auszeichnet, und wenn es notwendig ist, mehr als einen Zeitraum voraus zu prognostizieren, dann könnte auch eine Einschätzung eines lokalen Trends erfolgen Ein Problem. Das einfache exponentielle Glättungsmodell kann verallgemeinert werden, um ein lineares exponentielles Glättungsmodell (LES) zu erhalten, das lokale Schätzungen sowohl von Ebene als auch von Trend berechnet. Das einfachste zeitveränderliche Trendmodell ist das lineare, exponentielle Glättungsmodell von Browns, das zwei verschiedene geglättete Serien verwendet, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten zentriert sind. Die Prognoseformel basiert auf einer Extrapolation einer Linie durch die beiden Zentren. (Eine ausgefeiltere Version dieses Modells, Holt8217s, wird unten diskutiert.) Die algebraische Form des linearen exponentiellen Glättungsmodells von Brown8217s, wie das des einfachen exponentiellen Glättungsmodells, kann in einer Anzahl von verschiedenen, aber äquivalenten Formen ausgedrückt werden. Die quadratische Form dieses Modells wird gewöhnlich wie folgt ausgedrückt: Sei S die einfach geglättete Reihe, die durch Anwendung einer einfachen exponentiellen Glättung auf die Reihe Y erhalten wird. Das heißt, der Wert von S in der Periode t ist gegeben durch: (Erinnern Sie sich, dass unter einfachem Exponentielle Glättung, das wäre die Prognose für Y in der Periode t1.) Dann sei Squot die doppelt geglättete Reihe, die durch Anwendung einer einfachen exponentiellen Glättung (mit demselben 945) auf die Reihe S erhalten wird: Schließlich ist die Prognose für Y tk. Für irgendwelche kgt1 ist gegeben durch: Dies ergibt e 1 0 (d. h. Cheat ein Bit, und lassen Sie die erste Prognose gleich der tatsächlichen ersten Beobachtung) und e 2 Y 2 8211 Y 1. Nach denen Prognosen mit der obigen Gleichung erzeugt werden. Dies ergibt die gleichen angepassten Werte wie die Formel auf Basis von S und S, wenn diese mit S 1 S 1 Y 1 gestartet wurden. Diese Version des Modells wird auf der nächsten Seite verwendet, die eine Kombination aus exponentieller Glättung mit saisonaler Anpassung darstellt. Holt8217s Lineare Exponential-Glättung Brown8217s LES-Modell berechnet lokale Schätzungen von Level und Trend durch Glättung der aktuellen Daten, aber die Tatsache, dass es dies mit einem einzigen Glättungsparameter macht, legt eine Einschränkung auf die Datenmuster, die es passen kann: das Niveau und den Trend Dürfen nicht zu unabhängigen Preisen variieren. Holt8217s LES-Modell adressiert dieses Problem, indem es zwei Glättungskonstanten einschließt, eine für die Ebene und eine für den Trend. Zu jeder Zeit t, wie in Brown8217s Modell, gibt es eine Schätzung L t der lokalen Ebene und eine Schätzung T t der lokalen Trend. Hier werden sie rekursiv aus dem Wert von Y, der zum Zeitpunkt t beobachtet wurde, und den vorherigen Schätzungen des Niveaus und des Tendenzes durch zwei Gleichungen berechnet, die eine exponentielle Glättung für sie separat anwenden. Wenn der geschätzte Pegel und der Trend zum Zeitpunkt t-1 L t82091 und T t-1 sind. Dann ist die Prognose für Y tshy, die zum Zeitpunkt t-1 gemacht worden wäre, gleich L t-1 T t-1. Wenn der Istwert beobachtet wird, wird die aktualisierte Schätzung des Pegels rekursiv durch Interpolation zwischen Y tshy und dessen Prognose L t-1 T t-1 unter Verwendung von Gewichten von 945 und 1 945 berechnet. Die Änderung des geschätzten Pegels, Nämlich L t 8209 L t82091. Kann als eine laute Messung des Trends zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die aktualisierte Schätzung des Trends wird dann rekursiv durch Interpolation zwischen L t 8209 L t82091 und der vorherigen Schätzung des Trends T t-1 berechnet. Mit Gewichten von 946 und 1-946: Die Interpretation der Trend-Glättungs-Konstante 946 ist analog zu der Niveau-Glättungs-Konstante 945. Modelle mit kleinen Werten von 946 gehen davon aus, dass sich der Trend nur sehr langsam über die Zeit ändert, während Modelle mit Größer 946 nehmen an, dass es sich schneller ändert. Ein Modell mit einer großen 946 glaubt, dass die ferne Zukunft sehr unsicher ist, denn Fehler in der Trendschätzung werden bei der Prognose von mehr als einer Periode sehr wichtig. (Zurück zum Seitenanfang) Die Glättungskonstanten 945 und 946 können in der üblichen Weise durch Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers der 1-Schritt-voraus-Prognosen geschätzt werden. Wenn dies in Statgraphics geschieht, ergeben sich die Schätzungen auf 945 0.3048 und 946 0,008. Der sehr kleine Wert von 946 bedeutet, dass das Modell eine sehr geringe Veränderung des Trends von einer Periode zur nächsten einnimmt, so dass dieses Modell grundsätzlich versucht, einen langfristigen Trend abzuschätzen. In Analogie zum Begriff des Durchschnittsalters der Daten, die bei der Schätzung der lokalen Ebene der Serie verwendet wird, ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet wird, proportional zu 1 946, wenn auch nicht genau gleich . In diesem Fall stellt sich heraus, dass es sich um 10.006 125 handelt. Dies ist eine sehr genaue Zahl, da die Genauigkeit der Schätzung von 946 wirklich 3 Dezimalstellen ist, aber sie ist von der gleichen allgemeinen Größenordnung wie die Stichprobengröße von 100 Dieses Modell ist durchschnittlich über eine ganze Menge Geschichte bei der Schätzung der Trend. Die prognostizierte Handlung unten zeigt, dass das LES-Modell einen geringfügig größeren lokalen Trend am Ende der Serie schätzt als der im SEStrend-Modell geschätzte konstante Trend. Auch der Schätzwert von 945 ist fast identisch mit dem, der durch die Anpassung des SES-Modells mit oder ohne Trend erhalten wird. Das ist also fast das gleiche Modell. Nun, sehen diese aus wie vernünftige Prognosen für ein Modell, das soll ein lokaler Trend schätzen Wenn Sie diese Handlung, es sieht so aus, als ob der lokale Trend hat sich nach unten am Ende der Serie Was ist passiert Die Parameter dieses Modells Wurden durch die Minimierung der quadratischen Fehler von 1-Schritt-voraus Prognosen, nicht längerfristige Prognosen geschätzt, in welchem ​​Fall der Trend doesn8217t machen einen großen Unterschied. Wenn alles, was Sie suchen, sind 1-Schritt-vor-Fehler, sehen Sie nicht das größere Bild der Trends über (sagen) 10 oder 20 Perioden. Um dieses Modell mehr im Einklang mit unserer Augapfel-Extrapolation der Daten zu erhalten, können wir die Trend-Glättung konstant manuell anpassen, so dass es eine kürzere Grundlinie für Trendschätzung verwendet. Zum Beispiel, wenn wir uns dafür entscheiden, 946 0,1 zu setzen, dann ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, 10 Perioden, was bedeutet, dass wir den Trend über die letzten 20 Perioden oder so vermitteln. Hier8217s, was die Prognose Handlung aussieht, wenn wir 946 0,1 gesetzt, während halten 945 0,3. Das sieht für diese Serie intuitiv vernünftig aus, obwohl es wahrscheinlich gefährlich ist, diesen Trend in Zukunft mehr als 10 Perioden zu extrapolieren. Was ist mit den Fehlerstatistiken Hier ist ein Modellvergleich für die beiden oben gezeigten Modelle sowie drei SES-Modelle. Der optimale Wert von 945 für das SES-Modell beträgt etwa 0,3, aber es werden ähnliche Ergebnisse (mit etwas mehr oder weniger Ansprechverhalten) mit 0,5 und 0,2 erhalten. (A) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0.3048 und beta 0.008 (B) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0,3 und beta 0,1 (C) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,5 (D) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0.2 Ihre Stats sind nahezu identisch, so dass wir wirklich die Wahl treffen können Von 1-Schritt-voraus Prognosefehler innerhalb der Datenprobe Wir müssen auf andere Überlegungen zurückgreifen. Wenn wir stark davon überzeugt sind, dass es sinnvoll ist, die aktuelle Trendschätzung auf das, was in den letzten 20 Perioden passiert ist, zu stützen, so können wir einen Fall für das LES-Modell mit 945 0,3 und 946 0,1 machen. Wenn wir agnostisch darüber sein wollen, ob es einen lokalen Trend gibt, dann könnte eines der SES-Modelle leichter zu erklären sein und würde auch mehr Mittelwert der Prognosen für die nächsten 5 oder 10 Perioden geben. (Rückkehr nach oben) Welche Art von Trend-Extrapolation ist am besten: horizontal oder linear Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass, wenn die Daten bereits für die Inflation angepasst wurden (falls erforderlich), dann kann es unklug sein, kurzfristig linear zu extrapolieren Trends sehr weit in die Zukunft. Trends, die heute deutlich werden, können in Zukunft aufgrund unterschiedlicher Ursachen wie Produktveralterung, erhöhter Konkurrenz und zyklischer Abschwünge oder Aufschwünge in einer Branche nachlassen. Aus diesem Grund führt eine einfache, exponentielle Glättung oftmals zu einem besseren Out-of-Sample, als es sonst zu erwarten wäre, trotz der quadratischen horizontalen Trend-Extrapolation. Gedämpfte Trendmodifikationen des linearen exponentiellen Glättungsmodells werden auch in der Praxis häufig verwendet, um eine Note des Konservatismus in seine Trendprojektionen einzuführen. Das LES-Modell mit gedämpftem Trend kann als Spezialfall eines ARIMA-Modells, insbesondere eines ARIMA (1,1,2) - Modells, implementiert werden. Es ist möglich, Konfidenzintervalle um Langzeitprognosen zu berechnen, die durch exponentielle Glättungsmodelle erzeugt werden, indem sie sie als Sonderfälle von ARIMA-Modellen betrachten. (Vorsicht: Nicht alle Software berechnet die Konfidenzintervalle für diese Modelle korrekt.) Die Breite der Konfidenzintervalle hängt von (i) dem RMS-Fehler des Modells ab, (ii) der Art der Glättung (einfach oder linear) (iii) der Wert (S) der Glättungskonstante (n) und (iv) die Anzahl der voraussichtlichen Perioden, die Sie prognostizieren. Im Allgemeinen werden die Intervalle schneller ausgebreitet als 945 im SES-Modell größer und sie breiten sich viel schneller aus, wenn lineare statt einfache Glättung verwendet wird. Dieses Thema wird im ARIMA-Modellteil der Notizen weiter erörtert. (Rückkehr zum Anfang der Seite) R - Prognoseansätze zur Prognose bearbeiten ARIMA (AutoRegresive Integrated Moving Average) ETS (Exponentielles Glättungsstatus-Raummodell) Wir werden diskutieren, wie diese Methoden funktionieren und wie man sie benutzt. Prognosepaketübersicht bearbeiten Exponential Glättung Bearbeiten Namen AKA: exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) Entspricht ARIMA (0,1,1) Modell ohne konstanter Term Für geglättete Daten für die Präsentation machen Prognosen einfacher gleitender Durchschnitt: Vergangene Beobachtungen werden gleich exponentiell gewichtet Glättung: weist exponentiell abnehmende Gewichte über Zeit auf Zeit Formel xt - Rohdatenfolge st - Ausgabe des exponentiellen Glättungsalgorithmus (Schätzung des nächsten Wertes von x) - Glättungsfaktor. 0160lt160160lt1601.Choose rechts keine formale Art der Wahl der statistischen Technik kann verwendet werden, um den Wert von (zB OLS) zu optimieren, desto größer ist die enge es naive Vorhersage (die gleichen Ports wie Original-Serie mit einer Periode Verzögerung) Double Exponential Smoothing Bearbeiten Simple Exponentielle Glättung geht nicht gut, wenn es einen Trend gibt (es wird immer Bias) Doppelte exponentielle Glättung ist eine Gruppe von Methoden, die sich mit dem Problem beschäftigen Holt-Winters doppelte exponentielle Glättung bearbeiten Und für t gt 1, wo ist der Daten Glättungsfaktor. 0160lt160160lt1601, und ist der Trend Glättungsfaktor. 0160lt160160lt1601 Ausgabe F tm - eine Schätzung des Wertes von x zur Zeit tm, mgt0 auf der Grundlage der Rohdaten bis zur Zeit t Triple Exponential Glättung Bearbeiten berücksichtigt saisonale Änderungen sowie Trends zuerst vorgeschlagen von Holts Student, Peter Winters, im Jahr 1960 Input Xt - rohe Datenfolge von Beobachtungen t 1601600 L Länge ein Zyklus der saisonalen Veränderung Die Methode berechnet: eine Trendlinie für die Datensaisonindizes, die die Werte in der Trendlinie auf der Grundlage dessen, wo dieser Zeitpunkt in den Zyklus der Länge L fällt, gewichten. S t stellt den geglätteten Wert des konstanten Teils für die Zeit t dar. Bt stellt die Abfolge der besten Schätzungen des linearen Trends dar, die den saisonalen Veränderungen überlagert sind ct ist die Sequenz der saisonalen Korrekturfaktoren ct ist der erwartete Anteil des vorhergesagten Trends zu jedem Zeitpunkt t mod L im Zyklus, den die Beobachtungen annehmen Initialisierung der saisonalen Indizes c tL muss mindestens ein vollständiger Zyklus in den Daten sein Die Ausgabe des Algorithmus wird wieder als F tm geschrieben. Eine Schätzung des Wertes von x zum Zeitpunkt tm, mgt0 auf der Grundlage der Rohdaten bis zur Zeit t. Die dreifache exponentielle Glättung ergibt sich aus den Formeln, wo der Datenglättungsfaktor liegt. 0160lt160160lt1601, ist der Trend Glättungsfaktor. 0160lt160160lt1601, und ist die saisonale Änderung Glättung Faktor. 0160lt160160lt1601 Die allgemeine Formel für die anfängliche Trendschätzung b 0 ist: Einstellung der Anfangsschätzungen für die saisonalen Indizes c i für i 1,2. L ist ein bisschen mehr beteiligt. Wenn N die Anzahl der vollständigen Zyklen in Ihren Daten ist, dann: Beachten Sie, dass a j der Mittelwert von x im j-ten Zyklus Ihrer Daten ist. ETS-Bearbeitung Overriding-Parameter bearbeiten 8.4 Durchschnittliche Modelle verschieben Anstatt vergangene Werte der Prognosemenge in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsähnlichen Modell. Y c et theta e theta e dots theta e, wo et ist weißes Rauschen. Wir bezeichnen dies als MA (q) Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Beachten Sie, dass jeder Wert von yt als ein gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler gedacht werden kann. Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die durchschnittliche Glättung für die Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele von Daten aus bewegten Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit y t 20e t 0.8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0.8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteilt weißes Rauschen mit mittlerem Null und Varianz eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) Modell und einem MA (2) Modell. Das Ändern der Parameter theta1, punkte, thetaq führt zu unterschiedlichen zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerbegriffs nur den Maßstab der Serie ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) Modell als MA (Infty) Modell zu schreiben. Zum Beispiel können wir mit wiederholter Substitution dies für ein AR (1) - Modell nachweisen: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amph phi13y phi12e phi1 e et amptext endgesetzt -1 lt phi1 lt 1, der Wert von phi1k wird kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann heißt das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA (q) Prozess als AR (Infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA Modellen in AR Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis leichter machen können. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen ähneln den stationären Einschränkungen. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) Modell: -1ltθ2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - θ2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Auch hier wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen. Using R für Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse Diese Broschüre gibt Ihnen die Verwendung der R-Statistik-Software, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige Grundkenntnisse der Zeitreihenanalyse hat und der Schwerpunkt der Broschüre ist nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie diese Analysen mit R durchgeführt werden können. Wenn Sie neu in der Zeitreihe sind Analyse und möchten mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren, empfehle ich das Open University Buch 8220Time series8221 (Produktcode M24902), erhältlich ab dem Open University Shop. In dieser Broschüre verwende ich Zeitreihen-Datensätze, die von Rob Hyndman in seiner Time Series Data Library bei robjhyndmanTSDL freundlich zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gern meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken, a-luch-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analysen, kleine-Mon-für-Multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihendaten zu analysieren, wird es sein, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können die Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer (ursprüngliche Quelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Nur die ersten Zeilen der Datei wurden angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der scan () - Funktion verwenden, der angibt, wie viele Zeilen an der Oberseite von Die Datei zu ignorieren. Um die Akte in R zu lesen, die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir an: In diesem Fall wurde das Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir an: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest Können in regelmäßigen Abständen gesammelt worden sein, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie die Frequenz12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten die Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Zum Beispiel, wenn der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei vorhanden robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern, indem wir folgendes eingeben: Ähnlich enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien, für Januar 1987 - Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R lesen, indem wir schreiben: Plotten-Zeitreihen Sobald Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Aufstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () machen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todes des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir: Wir können aus der Zeitpläne sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ebenso, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in der New Yorker Stadt zu zeichnen, geben wir: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Unterschiede in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt: Es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen und die zufälligen Schwankungen auch zu sein scheinen Etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Strand-Ferienort in Queensland, Australien zu zeichnen, geben wir an: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell nicht geeignet ist, diese Zeitreihe zu beschreiben, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen. So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen: Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen Somit kann die log-transformierte Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegen der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die in der Regel eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Trendkomponente und die unregelmäßige Komponente zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die SMA () - Funktion im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zuerst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter So installieren Sie ein R-Paket). Sobald Sie das Paket 8220TTR8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220TTR8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Sie können dann die Funktion 8220SMA () 8221 verwenden, um Zeitreihendaten zu verkleinern. Um die Funktion SMA () zu verwenden, müssen Sie mit dem Parameter 8220n8221 die Reihenfolge (Spanne) des einfachen gleitenden Durchschnitts angeben. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir n5 in die Funktion SMA (). Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells beschrieben werden, da die zufälligen Schwankungen in den Daten in etwa größer sind Zeit: So können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu schätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir: Es gibt immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen in der Zeitreihe, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet wurde. Um also die Trendkomponente genauer abzuschätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt höherer Ordnung zu glätten. Das braucht ein bisschen Test-und-Fehler, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 versuchen: Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige zu sein scheint Haben sich von etwa 55 Jahre alt auf etwa 38 Jahre alt während der Herrschaft der ersten 20 Könige, und dann erhöht, um bis etwa 73 Jahre alt am Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Zerlegen saisonale Daten Eine saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer saisonalen Komponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, dh die Schätzung dieser drei Komponenten. Um die Trendkomponente und die saisonale Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, abzuschätzen, können wir die Funktion 8220decompose () 8221 in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe, die Kann mit einem additiven Modell beschrieben werden. Die Funktion 8220decompose () 8221 gibt ein Listenobjekt als Ergebnis zurück, wobei die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte, z. B. 8220seasonal8221, 8220trend8221 und 8220random8221, gespeichert sind. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen zu sein scheinen Im Laufe der Zeit grob konstant sein: Um den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe abzuschätzen, geben wir: Die geschätzten Werte der saisonalen, trend - und unregelmäßigen Komponenten werden nun in Variablen gebunden. GeburtsstundenerzeugnisseKomponentenseasonal, Geburtsstadiencomponentstrend und GeburtsstämmeKomponenten. Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir folgendes eingeben: Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar bis Dezember angegeben und sind für jedes Jahr gleich. Der größte saisonale Faktor ist für Juli (ca. 1,46), und der niedrigste ist für Februar (ca. -2,08), was darauf hindeutet, dass es einen Höhepunkt in den Geburten im Juli und einen Trog in Geburten im Februar jedes Jahr zu sein scheint. Wir können die geschätzten Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten der Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221 aufführen: Die obige Darstellung zeigt die ursprüngliche Zeitreihe (oben), die geschätzte Trendkomponente (zweites von oben), Die geschätzte saisonale Komponente (dritter von oben) und die geschätzte unregelmäßige Komponente (unten). Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf etwa 27 im Jahr 1959. Saisonale Anpassung Wenn Sie eine saisonale Zeitreihen haben, die beschrieben werden können Ein additives Modell, können Sie saisonabhängig die Zeitreihen durch Schätzen der saisonalen Komponente und subtrahieren die geschätzte saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente berechnen, die durch die Funktion 8220decompose () 8221 berechnet wird. Zum Beispiel, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente mit 8220decompose () 8221 abschätzen und dann die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren: Wir können dann die Saisonbereinigte Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221, durch Eingabe: Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus der saisonbereinigten Zeitreihe entfernt wurde. Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Prognosen mit exponentieller Glättung Exponentielle Glättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu machen. Einfache exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie einfache, exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Das einfache exponentielle Glättungsverfahren bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1. Werte von alpha, die nahe bei 0 sind, bedeutet, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat insgesamt jährlichen Niederschlag in Zoll für London, von 1813-1912 (Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R lesen und sie mit der Eingabe eingeben: Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstant ist (der Mittelwert bleibt bei etwa 25 Zoll konstant). Die zufälligen Schwankungen in den Zeitreihen scheinen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein, so dass es wahrscheinlich angebracht ist, die Daten mit einem additiven Modell zu beschreiben. So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung machen. Um Prognosen mit einfacher, exponentieller Glättung in R vorzunehmen, können wir mit der Funktion 8220HoltWinters () 8221 in R ein einfaches exponentielles Glättungsprädiktionsmodell platzieren. Um eine einfache, exponentielle Glättung von HoltWinters () zu verwenden, müssen wir die Parameter betaFALSE und gammaFALSE in die HoltWinters () - Funktion (die Beta - und Gamma-Parameter werden für Holt8217s exponentielle Glättung oder Holt-Winters exponentielle Glättung verwendet, wie unten beschrieben). Die Funktion HoltWinters () gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Zum Beispiel, um eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihen des jährlichen Niederschlags in London zu machen, geben wir an: Die Ausgabe von HoltWinters () sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0,024 beträgt. Dies ist sehr nahe bei null und sagt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen (obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird). Standardmäßig stellt HoltWinters () nur Prognosen für den gleichen Zeitraum dar, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. In diesem Fall war unsere ursprüngliche Zeitreihe Regenfälle für London von 1813-1912, also sind die Prognosen auch für 1813-1912. Im obigen Beispiel haben wir die Ausgabe der Funktion HoltWinters () in der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Die Prognosen von HoltWinters () werden in einem benannten Element dieser Listenvariablen namens 8220fitted8221 gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Eingabe erhalten können: Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen zeichnen, indem wir folgendes eingeben: Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe an Schwarz, und die Prognosen als rote Linie. Die Zeitreihe der Prognosen ist viel glatter als die Zeitreihen der Originaldaten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe berechnen, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 mit dem Namen 8220SSE8221 gespeichert, so dass wir ihren Wert durch Eingabe erhalten können: Das ist hier die Summe von quadratischen Fehlern ist 1828.855. Es ist üblich, in einfacher exponentieller Glättung den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Pegel zu verwenden. Zum Beispiel, in der Zeitreihe für Niederschläge in London, ist der erste Wert 23,56 (Zoll) für Niederschlag im Jahre 1813. Sie können den Anfangswert für den Level in der HoltWinters () - Funktion mit dem Parameter 8220l. start8221 angeben. Um beispielsweise Vorhersagen mit dem Anfangswert des auf 23.56 eingestellten Pegels zu setzen, geben wir Folgendes ein: Wie oben erläutert, stellt HoltWinters () standardmäßig Prognosen für den von den Originaldaten abgedeckten Zeitraum ein, der für den Niederschlag 1813-1912 beträgt Zeitfolgen. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte erstellen, indem wir die Funktion 8220forecast. HoltWinters () 8221 im Paket R 8220forecast8221 verwenden. Um die Funktion forecast. HoltWinters () zu verwenden, müssen wir zuerst das Paket 8220forecast8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter Installieren eines R-Pakets). Sobald Sie das Paket 8220forecast8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220forecast8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Wenn Sie die Funktion forecast. HoltWinters () als erstes Argument (Eingabe) verwenden, übergeben Sie das Vorhersagemodell, das Sie bereits mit dem HoltWinters () Funktion. Zum Beispiel haben wir im Fall der Regenzeit-Zeitreihen das Vorhersagemodell unter Verwendung von HoltWinters () in der Variablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Sie geben an, wie viele weitere Zeitpunkte Sie Prognosen für die Verwendung des Parameters 8220h8221 in forecast. HoltWinters () vornehmen möchten. Zum Beispiel, um eine Prognose der Niederschläge für die Jahre 1814-1820 (8 weitere Jahre) mit Prognose. HoltWinters (), geben wir: Die Prognose. HoltWinters () - Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersage Intervall für Die Prognose und ein Vorhersageintervall von 95 für die Prognose. Zum Beispiel beträgt der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24,68 Zoll, mit einem 95 Vorhersageintervall von (16.24, 33.11). Um die Vorhersagen zu erstellen, die von prognose gemacht wurden. HoltWinters (), können wir die Funktion 8220plot. forecast () 8221 verwenden: Hier werden die Prognosen für 1913-1920 als eine blaue Linie, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und die 95 Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich. Die gemessenen Fehler8217 werden als die beobachteten Werte minus vorhergesagten Werte für jeden Zeitpunkt berechnet. Wir können nur die Prognosefehler für den Zeitraum berechnen, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt wird, was 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist. Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe von quadratischen Fehlern (SSE) für die in-Beispiel-Prognosefehler. Die Prognosefehler werden in dem benannten Element 8220residuals8221 der Listenvariablen gespeichert, die von prognose. HoltWinters () zurückgegeben wird. Wenn das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, sollte es keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen geben. Mit anderen Worten, wenn es Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen gibt, ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Verzögerungen 1-20 erhalten. Wir können ein Korrelogramm der Prognosefehler mit der Funktion 8220acf () 8221 in R berechnen. Um die maximale Verzögerung anzugeben, die wir betrachten wollen, verwenden wir den Parameter 8220lag. max8221 in acf (). Um zum Beispiel ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Verzögerungen von 1-20 zu berechnen, geben wir aus dem Beispiel-Korrelogramm heraus, dass die Autokorrelation bei lag 3 nur die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise auf Nicht-Null-Korrelationen bei den Verzögerungen von 1-20 gibt, können wir einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion 8220Box. test () 8221 erfolgen. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten möchten, wird mit dem Parameter 8220lag8221 in der Funktion Box. test () angegeben. Zum Beispiel, um zu testen, ob es keine Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt, für die in-Beispiel-Prognosefehler für London-Niederschlagsdaten geben wir hier ein: Hier ist die Ljung-Box-Teststatistik 17,4 und der p-Wert ist 0,6 , So gibt es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in der in-Beispiel-Prognose Fehler bei Verzögerungen 1-20. Um sicher zu sein, dass das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt sind. Um zu überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz haben, können wir eine Zeitpläne der Prognosefehler in der Stichprobe machen: Die Handlung zeigt, dass die Prognosefehler in der Stichprobe im Laufe der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen, obwohl die Größe der Schwankungen in Der Beginn der Zeitreihe (1820-1830) kann bei späteren Terminen etwas kleiner sein (zB 1840-1850). Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler mit einer überlagerten Normalkurve mit mittlerer Nullpunkt und der gleichen Standardabweichung wie die Verteilung der Prognosefehler darstellen. Um dies zu tun, können wir eine R-Funktion definieren 8220plotForecastErrors () 8221, unten: Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um sie zu benutzen. Sie können dann plotForecastErrors () verwenden, um ein Histogramm (mit überlagerter Normalkurve) der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersagen darzustellen: Das Diagramm zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null ausgerichtet ist und mehr oder weniger normal verteilt ist Es scheint etwas nach rechts verkürzt zu sein, verglichen mit einer normalen Kurve. Allerdings ist die richtige Schiefung relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass es bei den Prognosefehlern in der Stichprobe nur wenige Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen gibt und die Verteilung der Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt zu sein scheint. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättung Methode bietet eine adäquate prädiktive Modell für London Niederschlag, die wahrscheinlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersageintervalle auf der Grundlage von (es gibt keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern und die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt) wahrscheinlich gültig. Holt8217s Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt8217s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt8217s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steigung zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch zwei Parameter, alpha, für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parametern alpha und beta Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Jahresdurchmessers der Frauen8217s Röcke am Saum von 1866 bis 1911. Die Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatarobertsskirts verfügbar. Dat (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R einlesen und darlegen: Wir können aus der Handlung sehen, dass es im Jahre 1880 einen Anstieg des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 gab und danach der Saumdurchmesser im Jahre 1911 auf etwa 520 sank Um Prognosen zu erstellen, können wir mit der HoltWinters () - Funktion in R. ein Vorhersagemodell platzieren. Um HoltWinters () für die exponentielle Glättung von Holt8217s zu verwenden, müssen wir den Parameter gammaFALSE setzen (der Gamma-Parameter wird für die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie unten beschrieben). Zum Beispiel, um Holt8217s exponentielle Glättung zu verwenden, um ein prädiktives Modell für Rock-Saum-Durchmesser zu passen, geben wir ein: Der geschätzte Wert von alpha ist 0,84 und beta ist 1,00. Diese sind beide hoch und sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Niveaus als auch der Steigung b der Trendkomponente vor allem auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe beruht. Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau und der Hang der Zeitreihen ändern sich im Laufe der Zeit sehr viel. Der Wert der Summe-quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe beträgt 16954. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen, indem wir folgendes eingeben: Wir Kann aus dem Bild sehen, dass die in-Beispiel-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, hinter den beobachteten Werten ein wenig zu liegen. Wenn Sie möchten, können Sie die Anfangswerte des Levels und der Steigung b der Trendkomponente mit den Argumenten 8220l. start8221 und 8220b. start8221 für die Funktion HoltWinters () angeben. Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe (608 für die Röhrendaten) und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes (9 für die Röhrendaten) einzustellen. Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt8217s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für den Level und 9 für die Steigung b der Trendkomponente geben wir: Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen machen Für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt werden, indem sie die Funktion forecast. HoltWinters () im Paket 8220forecast8221 verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihen-Daten für Rock-Saumen für 1866 bis 1911, so dass wir Vorhersagen für 1912 bis 1930 (19 weitere Datenpunkte) machen können, und zeichnen sie, indem sie schreiben: Die Prognosen werden als eine blaue Linie gezeigt, mit der 80 Vorhersageintervalle als orangefarbener Schattenbereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich. Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob das prädiktive Modell verbessert werden könnte, indem überprüft wird, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerungen bei den Verzögerungen von 1 bis 20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rock-Saum-Daten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen, indem wir folgendes eingeben: Hier zeigt das Korrelogramm, dass die Stichproben-Autokorrelation für die Prozeßprognosefehler bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt. Allerdings würden wir erwarten, dass einer in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Bedeutungsgrenzen durch Zufall allein überschreiten würde. In der Tat, wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0,47, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern bei den Stichproben 1-20 gibt. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch prüfen, ob die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine ständige Varianz aufweisen und normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt sind. Wir können dies tun, indem wir eine Zeitpläne von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve machen: Die Zeitpläne von Prognosefehlern zeigen, dass die Prognosefehler im Vergleich zu der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. So zeigt der Ljung-Box-Test, dass es bei den Prognosefehlern wenig Hinweise auf Autokorrelationen gibt, während die Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. Daher können wir schließen, dass Holt8217s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell für Rock-Saumdurchmesser liefert, was wohl nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus bedeutet dies, dass die Annahmen, dass die 80 und 95 Vorhersagen Intervalle auf basieren, wahrscheinlich gültig sind. Holt-Winters Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt das Niveau, die Steigung und die saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch drei Parameter gesteuert: alpha, beta und gamma, für die Schätzungen des Levels, der Steigung b der Trendkomponente und der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk