Moving Average Beispiel In R

Verschieben von Durchschnittswerten in R Nach meinem besten Wissen hat R keine eingebaute Funktion, um gleitende Durchschnitte zu berechnen. Mit der Filterfunktion können wir jedoch eine kurze Funktion für bewegte Mittelwerte schreiben: Wir können dann die Funktion auf beliebige Daten verwenden: mav (data) oder mav (data, 11), wenn wir eine andere Anzahl von Datenpunkten angeben wollen Als der Standard 5 Plotten funktioniert wie erwartet: plot (mav (data)). Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die zu durchschnittlich, können wir auch die Seiten Argument der Filterfunktionen ändern: sides2 verwendet beide Seiten, Seiten1 verwendet nur vergangene Werte. Teilen Sie diese: Post Navigation Kommentar Navigation Kommentar NavigationMoving Mittelwerte: Was sind sie unter den beliebtesten technischen Indikatoren, gleitende Durchschnitte werden verwendet, um die Richtung des aktuellen Trends zu messen. Jede Art von gleitendem Durchschnitt (üblicherweise in diesem Tutorial als MA geschrieben) ist ein mathematisches Ergebnis, das durch Mittelung einer Anzahl von vergangenen Datenpunkten berechnet wird. Einmal bestimmt, wird der daraus resultierende Durchschnitt dann auf ein Diagramm aufgetragen, um es den Händlern zu ermöglichen, geglättete Daten zu betrachten, anstatt sich auf die alltäglichen Preisschwankungen zu konzentrieren, die allen Finanzmärkten innewohnen. Die einfachste Form eines gleitenden Durchschnitts, die in geeigneter Weise als ein einfacher gleitender Durchschnitt (SMA) bekannt ist, wird berechnet, indem man das arithmetische Mittel eines gegebenen Satzes von Werten annimmt. Zum Beispiel, um einen grundlegenden 10-Tage gleitenden Durchschnitt zu berechnen, würden Sie die Schlusskurse aus den letzten 10 Tagen addieren und dann das Ergebnis mit 10 teilen. In Abbildung 1 ist die Summe der Preise für die letzten 10 Tage (110) Geteilt durch die Anzahl der Tage (10), um den 10-Tage-Durchschnitt zu erreichen. Wenn ein Händler einen 50-tägigen Durchschnitt anstatt sehen möchte, würde die gleiche Art von Berechnung gemacht werden, aber es würde die Preise in den letzten 50 Tagen enthalten. Der daraus resultierende Durchschnitt unter (11) berücksichtigt die letzten 10 Datenpunkte, um den Händlern eine Vorstellung davon zu vermitteln, wie ein Vermögenswert in Bezug auf die letzten 10 Tage festgesetzt wird. Vielleicht fragen Sie sich, warum technische Händler dieses Werkzeug einen gleitenden Durchschnitt nennen und nicht nur ein normales Mittel. Die Antwort ist, dass, wenn neue Werte verfügbar werden, die ältesten Datenpunkte aus dem Set gelöscht werden müssen und neue Datenpunkte kommen müssen, um sie zu ersetzen. Damit wird der Datensatz ständig auf neue Daten übertragen, sobald er verfügbar ist. Diese Berechnungsmethode stellt sicher, dass nur die aktuellen Informationen berücksichtigt werden. In Abbildung 2, sobald der neue Wert von 5 dem Satz hinzugefügt wird, bewegt sich der rote Kasten (der die letzten 10 Datenpunkte repräsentiert) nach rechts und der letzte Wert von 15 wird aus der Berechnung gelöscht. Weil der relativ kleine Wert von 5 den hohen Wert von 15 ersetzt, würden Sie erwarten, dass der Durchschnitt der Datensatzabnahme, was es tut, in diesem Fall von 11 bis 10 zu sehen. Was verschieben die Durchschnitte aussehen Einmal die Werte der MA wurden berechnet, sie werden auf ein Diagramm geplottet und dann verbunden, um eine gleitende durchschnittliche Linie zu erzeugen. Diese geschwungenen Linien sind auf den Charts der technischen Händler üblich, aber wie sie verwendet werden, kann drastisch variieren (mehr dazu später). Wie Sie in Abbildung 3 sehen können, ist es möglich, mehr als einen gleitenden Durchschnitt zu jedem Diagramm hinzuzufügen, indem Sie die Anzahl der in der Berechnung verwendeten Zeiträume anpassen. Diese geschwungenen Linien mögen anfangs ablenkend oder verwirrend erscheinen, aber sie werden sich daran gewöhnt, wie es die Zeit verläuft. Die rote Linie ist einfach der durchschnittliche Preis in den letzten 50 Tagen, während die blaue Linie der durchschnittliche Preis in den letzten 100 Tagen ist. Nun, da Sie verstehen, was ein gleitender Durchschnitt ist und wie es aussieht, führen Sie gut eine andere Art von gleitenden Durchschnitt ein und untersuchen, wie es sich von dem zuvor erwähnten einfachen gleitenden Durchschnitt unterscheidet. Der einfache gleitende Durchschnitt ist bei den Händlern sehr beliebt, aber wie alle technischen Indikatoren hat er seine Kritiker. Viele Einzelpersonen argumentieren, dass die Nützlichkeit des SMA begrenzt ist, weil jeder Punkt in der Datenreihe gleich gewichtet wird, unabhängig davon, wo er in der Sequenz auftritt. Kritiker argumentieren, dass die jüngsten Daten signifikanter sind als die älteren Daten und einen größeren Einfluss auf das Endergebnis haben sollten. Als Reaktion auf diese Kritik begannen die Händler, den jüngsten Daten mehr Gewicht zu verleihen, was seither zur Erfindung von verschiedenen Arten von neuen Durchschnittswerten geführt hat, wobei der populärste der exponentielle gleitende Durchschnitt (EMA) ist. (Für weitere Lesungen siehe Grundlagen der gewichteten gleitenden Mittelwerte und was ist der Unterschied zwischen einer SMA und einer EMA) Exponentieller bewegter Durchschnitt Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist eine Art gleitender Durchschnitt, der den jüngsten Preisen mehr Gewicht verleiht, um es besser zu machen Zu neuen Informationen. Lernen der etwas komplizierten Gleichung für die Berechnung einer EMA kann für viele Händler unnötig sein, da fast alle Charting-Pakete die Berechnungen für Sie machen. Jedoch für Sie Mathe-Aussenseiter da draußen, hier ist die EMA-Gleichung: Wenn Sie die Formel verwenden, um den ersten Punkt der EMA zu berechnen, können Sie feststellen, dass es keinen Wert gibt, der als vorherige EMA verwendet werden kann. Dieses kleine Problem kann gelöst werden, indem man die Berechnung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt beginnt und mit der obigen Formel von dort weiter fortfährt. Wir haben Ihnen eine Beispielkalkulationstabelle zur Verfügung gestellt, die reale Beispiele enthält, wie man sowohl einen einfachen gleitenden Durchschnitt als auch einen exponentiellen gleitenden Durchschnitt berechnet. Der Unterschied zwischen EMA und SMA Nun, da Sie ein besseres Verständnis davon haben, wie die SMA und die EMA berechnet werden, können Sie sich einen Blick darauf werfen, wie sich diese Durchschnittswerte unterscheiden. Mit Blick auf die Berechnung der EMA, werden Sie feststellen, dass mehr Wert auf die jüngsten Datenpunkte gesetzt wird, so dass es eine Art von gewichteten Durchschnitt. In Abbildung 5 ist die Anzahl der in jedem Durchschnitt verwendeten Zeiträume identisch (15), aber die EMA reagiert schneller auf die sich ändernden Preise. Beachten Sie, wie die EMA einen höheren Wert hat, wenn der Preis steigt, und fällt schneller als die SMA, wenn der Preis sinkt. Diese Reaktionsfähigkeit ist der Hauptgrund, warum viele Händler es vorziehen, die EMA über die SMA zu nutzen. Was sind die verschiedenen Tage Mittleren Durchlauf-Durchschnitten sind ein völlig anpassbarer Indikator, was bedeutet, dass der Benutzer frei wählen kann, was Zeitrahmen sie beim Erstellen des Durchschnitts wollen. Die häufigsten Zeiträume, die bei gleitenden Durchschnitten verwendet werden, sind 15, 20, 30, 50, 100 und 200 Tage. Je kürzer die Zeitspanne ist, um den Durchschnitt zu schaffen, desto empfindlicher wird es Preisänderungen. Je länger die Zeitspanne, desto weniger empfindlich oder mehr geglättet wird, wird der Durchschnitt sein. Es gibt keinen richtigen Zeitrahmen, um bei der Einrichtung Ihrer gleitenden Durchschnitte zu verwenden. Der beste Weg, um herauszufinden, welche am besten für Sie arbeitet, ist, mit einer Reihe von verschiedenen Zeiträumen zu experimentieren, bis Sie eine finden, die zu Ihrer Strategie passt. Mit R für Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse Diese Broschüre sagt Ihnen, wie man das R statistisch verwendet Software, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige Grundkenntnisse der Zeitreihenanalyse hat und der Schwerpunkt der Broschüre ist nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie diese Analysen mit R durchgeführt werden können. Wenn Sie neu in der Zeitreihe sind Analyse und möchten mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren, empfehle ich das Open University Buch 8220Time series8221 (Produktcode M24902), erhältlich ab dem Open University Shop. In dieser Broschüre verwende ich Zeitreihen-Datensätze, die von Rob Hyndman in seiner Time Series Data Library bei robjhyndmanTSDL freundlich zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gern meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken, a-luch-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analysen, kleine-Mon-für-Multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihendaten zu analysieren, wird es sein, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können die Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer (ursprüngliche Quelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Nur die ersten Zeilen der Datei wurden angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der scan () - Funktion verwenden, der angibt, wie viele Zeilen an der Oberseite von Die Datei zu ignorieren. Um die Akte in R zu lesen, die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir an: In diesem Fall wurde das Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir an: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest Können in regelmäßigen Abständen gesammelt worden sein, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie die Frequenz12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten die Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Zum Beispiel, wenn der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei vorhanden robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern, indem wir folgendes eingeben: Ähnlich enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien, für Januar 1987 - Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R lesen, indem wir schreiben: Plotten-Zeitreihen Sobald Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Aufstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () machen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todes des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir: Wir können aus der Zeitpläne sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ebenso, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in der New Yorker Stadt zu zeichnen, geben wir: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Unterschiede in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt: Es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen und die zufälligen Schwankungen auch zu sein scheinen Etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Strand-Ferienort in Queensland, Australien zu zeichnen, geben wir an: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell nicht geeignet ist, diese Zeitreihe zu beschreiben, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen. So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen: Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen Somit kann die log-transformierte Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegen der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die in der Regel eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Trendkomponente und die unregelmäßige Komponente zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die SMA () - Funktion im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zuerst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter So installieren Sie ein R-Paket). Sobald Sie das Paket 8220TTR8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220TTR8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Sie können dann die Funktion 8220SMA () 8221 verwenden, um Zeitreihendaten zu verkleinern. Um die Funktion SMA () zu verwenden, müssen Sie mit dem Parameter 8220n8221 die Reihenfolge (Spanne) des einfachen gleitenden Durchschnitts angeben. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir n5 in die Funktion SMA (). Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells beschrieben werden, da die zufälligen Schwankungen in den Daten in etwa größer sind Zeit: So können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu schätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir: Es gibt immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen in der Zeitreihe, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet wurde. Um also die Trendkomponente genauer abzuschätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt höherer Ordnung zu glätten. Das braucht ein bisschen Test-und-Fehler, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 versuchen: Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige zu sein scheint Haben sich von etwa 55 Jahre alt auf etwa 38 Jahre alt während der Herrschaft der ersten 20 Könige, und dann erhöht, um bis etwa 73 Jahre alt am Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Zerlegen saisonale Daten Eine saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer saisonalen Komponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, dh die Schätzung dieser drei Komponenten. Um die Trendkomponente und die saisonale Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, abzuschätzen, können wir die Funktion 8220decompose () 8221 in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe, die Kann mit einem additiven Modell beschrieben werden. Die Funktion 8220decompose () 8221 gibt ein Listenobjekt als Ergebnis zurück, wobei die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte, z. B. 8220seasonal8221, 8220trend8221 und 8220random8221, gespeichert sind. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen zu sein scheinen Im Laufe der Zeit grob konstant sein: Um den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe abzuschätzen, geben wir: Die geschätzten Werte der saisonalen, trend - und unregelmäßigen Komponenten werden nun in Variablen gebunden. GeburtsstundenerzeugnisseKomponentenseasonal, Geburtsstadiencomponentstrend und GeburtsstämmeKomponenten. Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir folgendes eingeben: Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar bis Dezember angegeben und sind für jedes Jahr gleich. Der größte saisonale Faktor ist für Juli (ca. 1,46), und der niedrigste ist für Februar (ca. -2,08), was darauf hindeutet, dass es einen Höhepunkt in den Geburten im Juli und einen Trog in Geburten im Februar jedes Jahr zu sein scheint. Wir können die geschätzten Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten der Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221 aufführen: Die obige Darstellung zeigt die ursprüngliche Zeitreihe (oben), die geschätzte Trendkomponente (zweites von oben), Die geschätzte saisonale Komponente (dritter von oben) und die geschätzte unregelmäßige Komponente (unten). Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf etwa 27 im Jahr 1959. Saisonale Anpassung Wenn Sie eine saisonale Zeitreihen, die beschrieben werden können Ein additives Modell, können Sie saisonabhängig die Zeitreihen durch Schätzen der saisonalen Komponente und subtrahieren die geschätzte saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente berechnen, die durch die Funktion 8220decompose () 8221 berechnet wird. Zum Beispiel, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente mit 8220decompose () 8221 abschätzen und dann die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren: Wir können dann die Saisonbereinigte Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221, durch Eingabe: Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus der saisonbereinigten Zeitreihe entfernt wurde. Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Prognosen mit exponentieller Glättung Exponentielle Glättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu machen. Einfache exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie einfache, exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Das einfache exponentielle Glättungsverfahren bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1. Werte von alpha, die nahe bei 0 sind, bedeutet, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat insgesamt jährlichen Niederschlag in Zoll für London, von 1813-1912 (Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R lesen und sie mit der Eingabe eingeben: Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstant ist (der Mittelwert bleibt bei etwa 25 Zoll konstant). Die zufälligen Schwankungen in den Zeitreihen scheinen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein, so dass es wahrscheinlich angebracht ist, die Daten mit einem additiven Modell zu beschreiben. So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung machen. Um Prognosen mit einfacher, exponentieller Glättung in R vorzunehmen, können wir mit der Funktion 8220HoltWinters () 8221 in R ein einfaches exponentielles Glättungsprädiktionsmodell platzieren. Um eine einfache, exponentielle Glättung von HoltWinters () zu verwenden, müssen wir die Parameter betaFALSE und gammaFALSE in die HoltWinters () - Funktion (die Beta - und Gamma-Parameter werden für Holt8217s exponentielle Glättung oder Holt-Winters exponentielle Glättung verwendet, wie unten beschrieben). Die Funktion HoltWinters () gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Zum Beispiel, um eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihen des jährlichen Niederschlags in London zu machen, geben wir an: Die Ausgabe von HoltWinters () sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0,024 beträgt. Dies ist sehr nahe bei null und sagt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen (obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird). Standardmäßig stellt HoltWinters () nur Prognosen für den gleichen Zeitraum dar, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. In diesem Fall war unsere ursprüngliche Zeitreihe Regenfälle für London von 1813-1912, also sind die Prognosen auch für 1813-1912. Im obigen Beispiel haben wir die Ausgabe der Funktion HoltWinters () in der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Die Prognosen von HoltWinters () werden in einem benannten Element dieser Listenvariablen namens 8220fitted8221 gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Eingabe erhalten können: Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen zeichnen, indem wir folgendes eingeben: Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe an Schwarz, und die Prognosen als rote Linie. Die Zeitreihe der Prognosen ist viel glatter als die Zeitreihen der Originaldaten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe berechnen, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 mit dem Namen 8220SSE8221 gespeichert, so dass wir ihren Wert durch Eingabe erhalten können: Das ist hier die Summe von quadratischen Fehlern ist 1828.855. Es ist üblich, in einfacher exponentieller Glättung den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Pegel zu verwenden. Zum Beispiel, in der Zeitreihe für Niederschläge in London, ist der erste Wert 23,56 (Zoll) für Niederschlag im Jahre 1813. Sie können den Anfangswert für den Level in der HoltWinters () - Funktion mit dem Parameter 8220l. start8221 angeben. Um beispielsweise Vorhersagen mit dem Anfangswert des auf 23.56 eingestellten Pegels zu setzen, geben wir Folgendes ein: Wie oben erläutert, stellt HoltWinters () standardmäßig Prognosen für den von den Originaldaten abgedeckten Zeitraum ein, der für den Niederschlag 1813-1912 beträgt Zeitfolgen. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte erstellen, indem wir die Funktion 8220forecast. HoltWinters () 8221 im Paket R 8220forecast8221 verwenden. Um die Funktion forecast. HoltWinters () zu verwenden, müssen wir zuerst das Paket 8220forecast8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter Installieren eines R-Pakets). Sobald Sie das Paket 8220forecast8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220forecast8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Wenn Sie die Funktion forecast. HoltWinters () als erstes Argument (Eingabe) verwenden, übergeben Sie das Vorhersagemodell, das Sie bereits mit dem HoltWinters () Funktion. Zum Beispiel haben wir im Fall der Regenzeit-Zeitreihen das Vorhersagemodell unter Verwendung von HoltWinters () in der Variablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Sie geben an, wie viele weitere Zeitpunkte Sie Prognosen für die Verwendung des Parameters 8220h8221 in forecast. HoltWinters () vornehmen möchten. Zum Beispiel, um eine Prognose der Niederschläge für die Jahre 1814-1820 (8 weitere Jahre) mit Prognose. HoltWinters (), geben wir: Die Prognose. HoltWinters () - Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersage Intervall für Die Prognose und ein Vorhersageintervall von 95 für die Prognose. Zum Beispiel beträgt der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24,68 Zoll, mit einem 95 Vorhersageintervall von (16.24, 33.11). Um die Vorhersagen zu erstellen, die von prognose gemacht wurden. HoltWinters (), können wir die Funktion 8220plot. forecast () 8221 verwenden: Hier werden die Prognosen für 1913-1920 als eine blaue Linie, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und die 95 Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich. Die gemessenen Fehler8217 werden als die beobachteten Werte minus vorhergesagten Werte für jeden Zeitpunkt berechnet. Wir können nur die Prognosefehler für den Zeitraum berechnen, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt wird, was 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist. Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe von quadratischen Fehlern (SSE) für die in-Beispiel-Prognosefehler. Die Prognosefehler werden in dem benannten Element 8220residuals8221 der Listenvariablen gespeichert, die von prognose. HoltWinters () zurückgegeben wird. Wenn das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, sollte es keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen geben. Mit anderen Worten, wenn es Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen gibt, ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Verzögerungen 1-20 erhalten. Wir können ein Korrelogramm der Prognosefehler mit der Funktion 8220acf () 8221 in R berechnen. Um die maximale Verzögerung anzugeben, die wir betrachten wollen, verwenden wir den Parameter 8220lag. max8221 in acf (). Um zum Beispiel ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Verzögerungen von 1-20 zu berechnen, geben wir aus dem Beispiel-Korrelogramm heraus, dass die Autokorrelation bei lag 3 nur die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise auf Nicht-Null-Korrelationen bei den Verzögerungen von 1-20 gibt, können wir einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion 8220Box. test () 8221 erfolgen. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten möchten, wird mit dem Parameter 8220lag8221 in der Funktion Box. test () angegeben. Zum Beispiel, um zu testen, ob es keine Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt, für die in-Beispiel-Prognosefehler für London-Niederschlagsdaten geben wir hier ein: Hier ist die Ljung-Box-Teststatistik 17,4 und der p-Wert ist 0,6 , So gibt es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in der in-Beispiel-Prognose Fehler bei Verzögerungen 1-20. Um sicher zu sein, dass das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt sind. Um zu überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz haben, können wir eine Zeitpläne der Prognosefehler in der Stichprobe machen: Die Handlung zeigt, dass die Prognosefehler in der Stichprobe im Laufe der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen, obwohl die Größe der Schwankungen in Der Beginn der Zeitreihe (1820-1830) kann bei späteren Terminen etwas kleiner sein (zB 1840-1850). Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler mit einer überlagerten Normalkurve mit mittlerer Nullpunkt und der gleichen Standardabweichung wie die Verteilung der Prognosefehler darstellen. Um dies zu tun, können wir eine R-Funktion definieren 8220plotForecastErrors () 8221, unten: Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um sie zu benutzen. Sie können dann plotForecastErrors () verwenden, um ein Histogramm (mit überlagerter Normalkurve) der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersagen darzustellen: Das Diagramm zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null ausgerichtet ist und mehr oder weniger normal verteilt ist Es scheint etwas nach rechts verkürzt zu sein, verglichen mit einer normalen Kurve. Allerdings ist die richtige Schiefung relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass es bei den Prognosefehlern in der Stichprobe nur wenige Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen gibt und die Verteilung der Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt zu sein scheint. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättung Methode bietet eine adäquate prädiktive Modell für London Niederschlag, die wahrscheinlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersageintervalle auf der Grundlage von (es gibt keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern und die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt) wahrscheinlich gültig. Holt8217s Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt8217s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt8217s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steigung zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch zwei Parameter, alpha, für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parametern alpha und beta Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Jahresdurchmessers der Frauen8217s Röcke am Saum von 1866 bis 1911. Die Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatarobertsskirts verfügbar. Dat (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R einlesen und darlegen: Wir können aus der Handlung sehen, dass es im Jahre 1880 einen Anstieg des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 gab und danach der Saumdurchmesser im Jahre 1911 auf etwa 520 sank Um Prognosen zu erstellen, können wir mit der HoltWinters () - Funktion in R. ein Vorhersagemodell platzieren. Um HoltWinters () für die exponentielle Glättung von Holt8217s zu verwenden, müssen wir den Parameter gammaFALSE setzen (der Gamma-Parameter wird für die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie unten beschrieben). Zum Beispiel, um Holt8217s exponentielle Glättung zu verwenden, um ein prädiktives Modell für Rock-Saum-Durchmesser zu passen, geben wir ein: Der geschätzte Wert von alpha ist 0,84 und beta ist 1,00. Diese sind beide hoch und sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Niveaus als auch der Steigung b der Trendkomponente vor allem auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe beruht. Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau und der Hang der Zeitreihen ändern sich im Laufe der Zeit sehr viel. Der Wert der Summe-quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe beträgt 16954. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen, indem wir folgendes eingeben: Wir Kann aus dem Bild sehen, dass die in-Beispiel-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, hinter den beobachteten Werten ein wenig zu liegen. Wenn Sie möchten, können Sie die Anfangswerte des Levels und der Steigung b der Trendkomponente mit den Argumenten 8220l. start8221 und 8220b. start8221 für die Funktion HoltWinters () angeben. Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe (608 für die Röhrendaten) und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes (9 für die Röhrendaten) einzustellen. Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt8217s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für den Level und 9 für die Steigung b der Trendkomponente geben wir: Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen machen Für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt werden, indem sie die Funktion forecast. HoltWinters () im Paket 8220forecast8221 verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihen-Daten für Rock-Saumen für 1866 bis 1911, so dass wir Vorhersagen für 1912 bis 1930 (19 weitere Datenpunkte) machen können, und zeichnen sie, indem sie schreiben: Die Prognosen werden als eine blaue Linie gezeigt, mit der 80 Vorhersageintervalle als orangefarbener Schattenbereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich. Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob das prädiktive Modell verbessert werden könnte, indem überprüft wird, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerungen bei den Verzögerungen von 1 bis 20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rock-Saum-Daten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen, indem wir folgendes eingeben: Hier zeigt das Korrelogramm, dass die Stichproben-Autokorrelation für die Prozeßprognosefehler bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt. Allerdings würden wir erwarten, dass einer in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Bedeutungsgrenzen durch Zufall allein überschreiten würde. In der Tat, wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0,47, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern bei den Stichproben 1-20 gibt. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch prüfen, ob die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine ständige Varianz aufweisen und normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt sind. Wir können dies tun, indem wir eine Zeitpläne von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve machen: Die Zeitpläne von Prognosefehlern zeigen, dass die Prognosefehler im Vergleich zu der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. So zeigt der Ljung-Box-Test, dass es bei den Prognosefehlern wenig Hinweise auf Autokorrelationen gibt, während die Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. Daher können wir schließen, dass Holt8217s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell für Rock-Saumdurchmesser liefert, was wohl nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus bedeutet dies, dass die Annahmen, dass die 80 und 95 Vorhersagen Intervalle auf basieren, wahrscheinlich gültig sind. Holt-Winters Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt das Niveau, die Steigung und die saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch drei Parameter gesteuert: alpha, beta und gamma, für die Schätzungen des Levels, der Steigung b der Trendkomponente und der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Vorhersage zukünftiger Werte relativ wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Protokolls der monatlichen Verkäufe für den Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien (oben diskutiert): Zu machen Prognosen können wir mit der Funktion HoltWinters () ein Vorhersagemodell platzieren. Zum Beispiel, um ein prädiktives Modell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe in der Souvenir-Shop passen, geben wir: Die Schätzwerte von Alpha, Beta und Gamma sind 0,41, 0,00 und 0,96. Der Wert von alpha (0,41) ist relativ niedrig, was darauf hinweist, dass die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt auf sowohl neueren Beobachtungen als auch einigen Beobachtungen in der weit entfernten Vergangenheit beruht. Der Wert von beta ist 0,00, was anzeigt, dass die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente nicht über die Zeitreihe aktualisiert wird und statt dessen gleich dem Anfangswert gesetzt wird. Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau ändert sich ziemlich viel über die Zeitreihe, aber die Steigung b der Trendkomponente bleibt ungefähr gleich. Im Gegensatz dazu ist der Wert von Gamma (0,96) hoch, was darauf hinweist, dass die Schätzung der saisonalen Komponente zum gegenwärtigen Zeitpunkt nur auf sehr jüngsten Beobachtungen beruht. Wie für eine einfache exponentielle Glättung und Holt8217s exponentielle Glättung, können wir die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie zeichnen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen: Wir sehen aus der Handlung, dass die Holt-Winters-Exponentialmethode sehr erfolgreich ist Bei der Vorhersage der saisonalen Gipfel, die etwa im November jedes Jahr auftreten. Um Prognosen für zukünftige Zeiten zu machen, die nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten sind, verwenden wir die Funktion 8220forecast. HoltWinters () 8221 im Paket 8220forecast8221. Zum Beispiel sind die ursprünglichen Daten für die Souvenirverkäufe von Januar 1987 bis Dezember 1993. Wenn wir Prognosen für Januar 1994 bis Dezember 1998 (48 weitere Monate) machen wollten und die Prognosen abgeben würden, würden wir folgendes eingeben: Die Prognosen werden als angezeigt Eine blaue Linie, und die orange und gelb schattigen Bereiche zeigen jeweils 80 bzw. 95 Vorhersageintervalle. Wir können untersuchen, ob das prädiktive Modell verbessert werden kann, indem man prüft, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerung bei den Verzögerungen von 1-20 zeigen, indem sie ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen: Das Korrelogram zeigt, dass die Autokorrelationen vorliegen Für die in-Beispiel-Prognosefehler überschreiten Sie nicht die Signifikanzgrenzen für die Verzögerungen 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk2.1 Moving Average Models (MA models) Time series models known as ARIMA models may include autoregressive terms andor moving average terms. In Woche 1 lernten wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Zum Beispiel ist ein lag 1 autoregressiver Term x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Begriffe. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Lassen Sie (nt N (0, sigma2w)), was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. The 1 st order moving average model, denoted by MA(1) is (xt mu wt theta1w ) The 2 nd order moving average model, denoted by MA(2) is (xt mu wt theta1w theta2w ) The q th order moving average model, denoted by MA(q) is (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw ) Note . Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Bedingungen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (unsquared) Terme in Formeln für ACFs und Abweichungen klappt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) Modell. For interested students, proofs of these properties are an appendix to this handout. Beispiel 1 Angenommen, ein MA (1) - Modell ist x t 10 wt .7 w t-1. Wo (wt Overset N (0,1)). So ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die gerade dargestellte Handlung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis wird eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster liefern. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1). Für diese Simulation folgt eine Zeitreihenfolge der Stichprobendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für die Vergangenheit 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrundeliegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF, die unten gezeigt wird, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) Modell Für das MA (2) Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Beachten Sie, dass die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF für die Verzögerungen 1 und 2 sind. Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 So gibt ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen ein mögliches MA (2) - Modell an. Iid N (0,1). Die Koeffizienten sind 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, hat die theoretische ACF nur Nullwerte nur bei den Verzögerungen 1 und 2. Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind eine Auftragung der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich die Probendaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Probenwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wo w t iid N (0,1). Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei der Zeitreihen-Plot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Verzögerungen. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht genau mit dem theoretischen Muster übereinstimmt. ACF für allgemeine MA (q) Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen im Allgemeinen ist, dass es für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q ungleichen Autokorrelationen gibt. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) Modell, für jeden Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0,5 für 1. Und dann 1 (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll bekommen (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird. Wir beschränken die MA (1) - Modelle auf Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 10,5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch konvergieren, verstehen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Invertierbarkeit ist eine Beschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terme abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA (1) Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Hinweis. Für ein MA (q) Modell mit einem bestimmten ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten Werte haben, so daß die Gleichung 1- 1 y - ist. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1 Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. The R commands used to plot the theoretical ACF were: acfma1ARMAacf(mac(0.7), lag. max10) 10 lags of ACF for MA(1) with theta1 0.7 lags0:10 creates a variable named lags that ranges from 0 to 10. plot(lags, acfma1,xlimc(1,10), ylabr, typeh, main ACF for MA(1) with theta1 0.7) abline (h0) adds a horizontal axis to the plot The first command determines the ACF and stores it in an object named acfma1 (our choice of name). Der Plotbefehl (der 3. Befehl) zeichnet sich gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10 aus. Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf den Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und die Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10. Simulation standardmäßig 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurden die theoretischen ACF des Modells xt 10 Gew .-% w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (Verzögerungen, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, Haupt-ACF für MA (2) mit theta1 0,5, Thex20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main simulierte MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10), MainACF für simulierte MA (2) Daten) Anhang: Nachweis der Eigenschaften von MA (1) Für interessierte Studierende sind hier Beispiele für theoretische Eigenschaften des MA (1) Modells. Variance: (text (xt) text (mu wt theta1 w ) 0 text (wt) text (theta1w ) sigma2w theta21sigma2w (1theta21)sigma2w) When h 1, the previous expression 1 w 2. For any h 2, the previous expression 0. The reason is that, by definition of independence of the w t . E (w k w j) 0 für jedes k j Da ferner wt den Mittelwert 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 hat. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Nun zeigen Sie die Invertierbarkeit für das Modell MA (1). Dann ersetzen wir die Beziehung (2) für w t-1 in Gleichung (1) (3) (zt wt theta1 (z - θaw) wt theta1z - θ2w) Zur Zeit t-2. Gleichung (2) wird wir dann die Beziehung (4) für wt-2 in Gleichung (3) (zt wt theta1z-tha21w wt theta1z - tha21 (z-tha1w) wt theta1z - θ12z theta31w) Wenn wir fortfahren würden ( Unendlich), würden wir die unendliche Ordnung AR-Modell erhalten (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, in der Größe zunehmen wird (unendlich), wenn wir uns zurück bewegen Zeit. Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 lt1. Dies ist die Voraussetzung für ein invertierbares MA (1) Modell. Infinite Order MA Modell In Woche 3 sehen wir, dass ein AR (1) Modell in eine unendliche Reihenfolge umgewandelt werden kann MA Modell: (xt-mu wt phi1w phi21w punkte phik1 w Punkte Summe phij1w) Diese Summierung von vergangenen weißen Rauschen ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Lets berechnen die Var (x t) mit der Kausaldarstellung. This last step uses a basic fact about geometric series that requires (phi1lt1) otherwise the series diverges. Navigation